Probabilidad de dos términos

La probabilidad de dos términos típicamente trata con la probabilidad de varias decisiones sucesivas, cada una de las cuales tiene dos resultados posibles.

Definición

La probabilidad de un acontecimiento se puede expresar como una probabilidad de dos términos si sus resultados se pueden dividir abajo en dos probabilidades p y q, donde p y q son complementarios (es decir p + q = 1) Por ejemplo, sacudir una moneda puede ser cualquiera la cara o cruz, cada uno que tienen una probabilidad (teórica) de 0.5. El balanceo de unos cuatro en un hexagonal se puede expresar como la probabilidad (1/6) de conseguir unos 4 o la probabilidad (5/6) del balanceo de algo más.

Cálculo

Si un acontecimiento tiene una probabilidad, p, del acontecimiento, entonces la probabilidad de ello pasando dos veces es p, y en p general para juicios sucesivos n.

Si queremos saber la probabilidad de rodar unas tres veces y conseguir dos fours y un otro número (en ese pedido específico) se hace:. la simplificación de esto da. Usando la probabilidad básica esto se hace.

Sin embargo, esto sólo es suficiente para problemas donde el pedido es específico. Si el pedido no es importante en el susodicho ejemplo, entonces hay 3 modos que 2 rollos de cuatro y 1 otro podrían ocurrir: (4 4 el otro), (4 más 4) y (another–4–4). Ya que hay 3 modos de conseguir el mismo objetivo, la probabilidad es 3 veces más que el de antes, es decir. Si el pedido no importa, entonces hay configuraciones posibles C, donde. En lo que sigue, usamos para denotar C.

Ecuación general

La probabilidad de adquisición exactamente de éxitos en juicios independientes es

P (X=k) = {n \choose k} p^k (q) ^ {(n-k) }\

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donde está la probabilidad de un éxito, es, o la probabilidad de un fracaso y

.

El valor de es complementario a, que es. La expresión también aparece en el teorema de dos términos.

Ejemplo

En una 10 pregunta prueba selecta múltiple, con 4 opciones por pregunta, la probabilidad de la adquisición exactamente 5 respuestas correctas si las respuestas se adivinan se pueden calcular como tan:

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Por lo tanto si alguien adivina 10 respuestas en prueba selecta múltiple con 4 opciones, tienen sobre una posibilidad del 5.8% de conseguir 5 y sólo 5 respuestas correctas. Si 5 o más respuestas correctas son necesarias para pasar, entonces la probabilidad del paso se puede calcular añadiendo la probabilidad de ponerse 5 (y sólo 5) respuestas correctas, 6 (y sólo 6) respuestas correctas, etcétera hasta 10 respuestas correctas. La probabilidad total de 5 o más respuestas correctas es aproximadamente el 7.8%.

Valoración

Hay varios métodos en la estimación de la probabilidad de dos términos si los exponentes son demasiado grandes para calcular

Aproximación de dos términos

Un método es acercándose la probabilidad a una distribución normal. Los requisitos son que y para una respuesta exacta. La aproximación se hace con la ecuación siguiente:

:

Donde y (la desviación estándar de la aproximación de dos términos) y z es el z-resultado correspondiente.

Función de probabilidad de Poisson

Otro método posible se acerca a una distribución de Poisson. Los requisitos son que y que np y npq son dentro del 10% el uno del otro. La fórmula es

:

donde.

Conexión con teorema de dos términos

La ecuación para la probabilidad de dos términos es lo mismo como la ecuación del teorema de dos términos, que puede ser usada para calcular términos en el triángulo de Pascal y la extensión de ecuaciones de dos términos de la forma. De este modo, si el binomio se amplía para n = 2, conseguimos

:

Volver a escribir la ecuación de un modo trivial:

:

Si un representa cabezas y colas b, entonces los susodichos espectáculos todas las posibilidades y el número de combinaciones posibles. Es decir hay una manera de conseguir dos cabezas (aa), dos modos de conseguir una cabeza y una cola (2ab) y una manera de conseguir dos colas (bb) Esto solicita cualquier nivel de n. Ya que la suma de los coeficientes en la ecuación (un + un + a) es las posibilidades totales, y ya que cada caso único tiene la misma probabilidad, la probabilidad de conseguir 1 acontecimiento de a y 1 de b (1 cabeza y 1 cola en una moneda) es 2 de 4, o 0.5. La suma de coeficientes para cualquier binomio es 2.

Véase también

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