Polinomios de Zernike

Complots de los valores en el disco de la unidad.]]

En matemáticas, los polinomios de Zernike son una secuencia de polinomios que son ortogonales en el disco de la unidad. Nombrado por Frits Zernike, juegan un papel importante en la óptica de la viga.

Definiciones

Hay hasta y los polinomios de Zernike raros. Plano se define como

:

y raro como

:

donde el m y n son números enteros no negativos con n≥m, el φ es el ángulo de azimuthal, y ρ es la distancia radial.

Los polinomios radiales R se definen como

:

para n − el m hasta, y es idénticamente 0 para n − m raro.

Otras representaciones

Volver a escribir las proporciones de factoriales en la parte radial como productos de

los binomios muestran que los coeficientes son números del número entero:

:.

Una nota como terminando

Gaussian funciones hipergeométricas

es

útil para revelar repeticiones, demostrar que son especial

casos de polinomios de Jacobi, para anotar las ecuaciones diferenciales, etc.:

:

\rho^n

{} _2F_ {1 }\\se fue (-\frac {n+m} {2},-\frac {n-m} {2};-n; \rho^ {-2 }\\derecho)

</matemáticas>

:

{} _2F_ {1 }\\se fue (1+n, 1-\frac {n-m} {2}; 1 +\frac {n+m} {2}; \rho^2\right)

</matemáticas>

para n &minus; m hasta.

Las aplicaciones a menudo implican el álgebra lineal, donde integrales sobre productos

de polinomios de Zernike y algún otro factor construyen los elementos de la matriz.

Enumerar las filas y columnas de estos matrices por un índice solo, convencional

la correlación de los dos índices n y m a un índice j solo ha sido

introducido por Noll. La mesa de esta asociación comienza así

La regla consiste en que el hasta Z (con la parte azimuthal)

obtenga hasta índices j, los índices raros Z raros j. Dentro de n dado,

los menores valores del m obtienen más abajo j.

Fórmulas

Orthogonality

El orthogonality en la parte radial lee

:.

Orthogonality en la parte angular es representado por

:,

:,

:,

donde (a veces llamaba el factor de Neumann porque con frecuencia aparece junto con funciones de Bessel) se define como 2 si

y 1 si.

El producto de las partes angulares y radiales establece el orthogonality de las funciones de Zernike

con respecto a ambos índices de ser integrados sobre el disco de la unidad,

:

\frac {\\epsilon_m\pi} {2n+2 }\\delta_ {n, n' }\\delta_ {m, m'} </matemáticas>,

donde está Jacobian del

sistema coordenado circular, y donde y

son ambos hasta.

Un valor especial es

:.

Symmetries

La paridad con respecto a la reflexión a lo largo del eje X es

:.

La paridad con respecto a la reflexión del punto en el centro de coordenadas es

:,

donde se podría también escribir

porque es hasta para los valores relevantes, no desaparecidos.

Los polinomios radiales también son hasta o raros:

:.

La periodicidad de las funciones trigonométricas implica invariance de ser hecho girar por múltiplos de radian

alrededor del centro:

:.

Ejemplos

Los primeros pocos polinomios Radiales son:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Aplicaciones

Las funciones son una base definida sobre el área de apoyo circular, típicamente

los aviones del alumno en representación óptica clásica en longitudes de onda ópticas e infrarrojas

a través de sistemas de lentillas y espejos

de diámetro finito. Su ventaja es las propiedades analíticas simples

heredado de la simplicidad de las funciones radiales y el factorization

en radial y funciones de azimuthal; esto conduce por ejemplo a expresiones de la forma cerradas

de Fourier de dos dimensiones transforman en términos de Funciones de Bessel.

Su desventaja, en particular de ser alto los n se implican, es desigual

la distribución de líneas nodulares sobre el disco de la unidad, que introduce efectos que suenan

cerca del perímetro, que a menudo conduce tentativas de definir otro

funciones ortogonales sobre el disco circular.

En la precisión fabricación óptica, los polinomios de Zernike son usados para caracterizar errores de pedido más alto observados en análisis de interferometric, a fin de conseguir el rendimiento del sistema deseado.

En optometry y oftalmología los polinomios de Zernike son usados para describir aberraciones de la córnea o lente de una forma esférica ideal, que causan errores de la refracción.

Comúnmente se usan en la óptica adaptable donde pueden ser usados con eficacia para anular la deformación atmosférica. Las solicitudes obvias de esto son IR o astronomía visual e imágenes de Satélite. Por ejemplo, uno de los términos de zernike (para el m = 0, n = 2) se llama 'el de foco'. Por el enganche la salida de este término a un sistema de control, un foco automático se puede poner en práctica.

Otra aplicación de los polinomios de Zernike se encuentra en la teoría de Extended Nijboer-Zernike (ENZ) de difracción y aberraciones.

Los polinomios de Zernike son ampliamente usados como funciones de base de momentos de la imagen.

Dimensiones más altas

El concepto traduce a dimensiones más altas si multinomials en coordenadas Cartesianos se convierten a coordenadas hiperesféricas,

, multiplicado por un producto de Polinomios Jacobi de angular

variables.

En dimensiones, las variables angulares son armónico Esféricos, por ejemplo.

Las combinaciones lineales de los poderes definen ortogonal

base que satisface

:.

(Note que un factor se absorbe en la definición de aquí,

mientras que en la normalización se elige ligeramente diferentemente. Esto es en gran parte

un asunto de gusto, según si uno desea mantener un juego del número entero de coeficientes

o prefiere fórmulas más apretadas si el orthogonalization se implica.)

La representación explícita es

:

(-1) ^s {(n-l)/2 \choose s} {n-s-1+D/2 \choose (n-l)/2 }\\Rho^ {n-2s} </matemáticas>

:

(-1) ^s {(n-l)/2 \choose s }\

{s-1 + (n+l+D)/2 \choose (n-l)/2} \rho^ {2s+l} </matemáticas>

:

{} _2F_1 (-(n-l)/2, (n+l+D)/2; l+D/2; \rho^2) </matemáticas>.

para hasta, más idéntico a cero.

Véase también

Notas

Enlaces externos



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